ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):


Operazioni su un insieme.
Matrici ad elementi in un campo e loro proprietà.
Spazi vettoriali e loro proprietà .
Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari.
Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
Prodotto scalare in uno spazio reale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali.


GEOMETRIA ANALITICA (II semestre, parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)


Spazi Affini - AffinitàI vettori geometrici dello spazio ordinario.
Sistemi di coordinate affini nel piano e nello spazio. geometria nel piano affine, rette e loro equazioni. Ortogonalità e parallelismo. Geometria nello spazio affine di dimensione 3. Piani e rette e vari modi di rappresentarli. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Distanze.
Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Classificazione delle coniche irriducibili. Fasci di coniche.
Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Sezioni delle quadriche con piani tangenti. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sfere. Sezioni piane di una quadrica.
“Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile”.

Goal 4: Istruzione e qualità.obiettivo 4.4Modalità:lezioni frontaliesercitazioni

Note del docente su Algebra Lineare da integrare con il testo 3.
Note del docente su Geometria da integrare con il testo 3.
E. Sernesi, Geometria 1,Bollati- Boringhieri, II edition, 1989 (Geometry)

ALGEBRA LINEARESpazi vettoriali e loro proprietà . Esempi notevoli di spazio vettoriale: R^n , R^{m,n} , R[x], lo spazio vettoriale dei vettori geometrici. Sistemi di riferimento nello spazio euclideo.Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto tra vettori geometrici: loro interpretazione geometrica. Identità di Jacobi, il prodotto vettoriale induce un'algebra di Lie sullo spazio dei vettori geometrici.Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto riga per colonna tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche.Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Dimensione di una somma diretta.Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace. Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim).Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili.Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.Spazi vettoriali con prodotto scalare. Prodotti scalari euclidei ed hermitiani. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.Endomorfismi autoaggiunti, teorema spettrale, corollari del teorema spettrale.





GEOMETRIA ANALITICAI vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti.Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Fasci di piani. Distanze.Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze.Punti semplici di una conica. Retta tangente ad una conica in un suo punto semplice. Polarità definita da una conica irriducibile. Teorema di reciprocità.Fasci di coniche.Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi.Punti semplici di una quadrica. Rette tangenti ad una quadrica in un suo punto semplice e piano tangente. Polarità definita da una quadrica non degenere. Teorema di reciprocità.Fasci di quadriche.

1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte di Algebra Lineare).

2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (per la parte di geometria). Il presente libro, su volere dell'autore, è scaricabile dal sito internet del prof. G. Paxia www.giuseppepaxia.com .Altro materiale didattico come esercizi di autoverifica dell'apprendimento, esercizi sugli argomenti svolti durante le lezioni, esercizi svolti e compiti svolti saranno liberamente fruibili mediante collegamenti web.