Prima parte (circa un terzo del corso)

a) Teoria degli insiemi.

Insiemi e operazioni tra insiemi. Funzioni o applicazioni.
Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di
applicazioni.Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti.
Relazioni d'ordine. Massimi e minimi, elementi minimali e massimali,
maggioranti e minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore.

b) I numeri.

I numeri naturali. Il principio di induzione.

Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| 2^A|. Potenza del continuo. Lemma di Zorn e assioma della scelta (cenni).

I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo.
Identità di Bézout. Fattorizzazione in Z e alcune conseguenze. I numeri
razionali. La struttura di campo ordinato di Q.

Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni.
Criteri di divisibilità. Risoluzione di congruenze lineari. La funzione
di Eulero e il teorema di Eulero-Fermat.

Cenno sui numeri reali come campo ordinato. I numeri complessi. Forme
algebriche e trigonometriche dei numeri complessi. Radici dei numeri
complessi. Le radici complesse dell'unità. Il Teorema fondamentale
dell'Algebra (senza dim.).



Seconda parte: teoria delle strutture algebriche.

a) Teoria degli anelli (circa un terzo del corso)

Prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi.
Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anelli quozienti. I teoremi
di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Sottoanelli ed ideali
rispetto ad un omomorfismo. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali
primi ed ideali massimali. Immersione di un dominio in un campo. Il
campo dei quozienti di un dominio di integrità. Anelli di polinomi a
coefficienti in un anello. Funzioni polinomiali e polinomi. Teorema di
Ruffini.

Divisibilità in un anello. Elementi primi ed irriducibili.Domini
euclidei. Domini ad ideali principali. Domini a fattorizzazione unica e
loro caratterizzazione. Confronto tra gli anelli studiati e loro
applicazioni. Divisione tra polinomi su un campo: l'algoritmo di
divisione.Identità di Bézout. MCD e mcm. Lemma di Gauss e Teorema di
Gauss per A[x], con A UFD. Criteri di irriducibilità in A[x]. Il
criterio di Eisenstein. Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.



b) Teoria dei gruppi (circa un terzo del corso)

Prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. Gruppi ciclici. Il gruppo
simmetrico e il gruppo alterno. I gruppi diedrali. Classi laterali e
Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Omomorfismi
tra gruppi. Relazioni tra sottogruppi in un omomorfismo. I teoremi
dell'omomorfismo e dell'isomorfismo. Il Teorema di Cayley. L'azione di
un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di coniugio
ed equazione di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. Il
Teorema di Cauchy ed i Teoremi di Sylow. Somma diretta di gruppi.
Teorema sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti.

1. G. Piacentini Cattaneo - Algebra - Zanichelli.

2. A. Ragusa - Corso di Algebra (Un approccio amichevole) - Aracne Ed.

3. M. Fontana - S. Gabelli- Insiemi numeri e polinomi - CISU