1. Preliminari
Mollificatori e loro proprietà di regolarità. Continuità della traslazione in $L^p$. Lemma di Urysohn. Teorema di Okikiolu e sue conseguenze.
Densità delle funzioni regolari in $L^p$.

2. Soluzioni classiche
Equazioni ellittiche: Teorema di Gauss o della Divergenza. Funzioni Armoniche. Formule di Media e caratterizzazione delle funzioni armoniche. Regolarità delle funzioni armoniche. Principio di massimo. Problema di Dirichlet (Unicità). Disuguaglianza di Harnack. Teorema di Liouville. Formule di rappresentazione. Funzione di Green. Nucleo di Poisson. Problema di Dirichlet - Esistenza della soluzione classica nel caso di dominio regolare. Metodo di Perron. Barriere e punti regolari.

Equazioni paraboliche:
Equazione del calore e sua origine fisica. Nozione di soluzione. Problema di Dirichlet e problema di Cauchy. Soluzione fondamentale. Formule di rappresentazione. Il principio di massimo. Applicazione ai problemi di Cauchy e di Dirichlet. La disuguaglianza di Harnack.

Equazioni iperboliche:
Equazione delle onde e sua origine fisica. Nozione di soluzione. Problema di Dirichlet e problema di Cauchy.

3. Soluzioni generalizzate
Cenni sulla teoria delle distribuzioni e sugli spazi di Sobolev. Lo spazio $BMO$. Operatori ellittici e problema della regolarità.
Soluzioni variazionali. Esistenza ed unicità della soluzione debole per il problema di Dirichlet. La disuguaglianza di Harnack. Il Teorema di De Giorgi - Nash - Moser. Cenno a qualche equazione non lineare.

S.Salsa Equazioni alle derivate parziali 3ed. Springer (2016)
Quing Han A Basic Course in Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics Vol. 120 (2011)
G.B. Folland An introduction to Partial Differential Equations Princeton Univ. Press (1976)
D.Gilbarg, N.S.Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of second order Springer Verlag (1983)
Ya-Zhe Chen, Lan-Cheng Wu Second order Elliptic Equations and Elliptic Systems Translation of Mathematical Monographs vol. 174 (1998).