Si inzierà con lo studio delle nozioni relative alla convergenza di successioni e serie di funzioni. Si introdurrà poi il concetto di spazio metrico e si studieranno approfonditamente questi nuovi spazi, in particolare studiando i concetti di limite di successioni in spazi metrici e di funzioni fra spazi metrici, di continuità e di uniforme continuitàdi funzioni fra spazi metrici, di compattezza e di connessione. Si estenderanno le nozioni di calcolo differenziale ed Integrale (già introdotte nel corso di Analisi Matematica 1) alle funzioni di più variabili, fino ad arrivare allo studio delle equazioni differenziali ordinarie, all'introduzione dei concetti base della geometria differenziale delle curve e superfici ed ai principali risultati del calcolo vettoriale, interessanti di per sè ed estremamente utili nelle applicazioni ad altre scienze.

Di seguito un elenco più dettagliato degli argomenti del corso



1.SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni.Convergenza puntuale o semplice. Convergenza uniforme. Conseguenze della convergenza uniforme. Serie di funzioni. Convergenza puntuale o semplice. Convergenza uniforme. Convergenza assoluta. Convergenza totale. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.

2. SPAZI METRICI.CALCOLO DIFFERENZIALE IN R^n. Spazi metrici. Intorni di punti. Insiemi aperti, chiusi ed altre nozioni topologiche. Compattezza e connessione in spazi metrici. Funzioni continue fra spazi metrici. Teoremi di Weierstrass, di Cantor-Heine, di Esistenza degli zeri e dei Valori Intermedi. Spazi euclidei. Applicazione delle precedenti nozioni e dei precedenti risultati al caso di spazi euclidei. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari e loro significato geometrico. Gradiente e suo significato. Funzioni dfferenziabili secondo Gateaux e secondo Frechet e significato geometrico. Teorema del differenziale totale. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche simmetriche reali. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica. Condizione necessaria del secondo ordine per la determinazione dei punti di estremi relativo. Condizione sufficiente del secondo ordineper la determinazione dei punti di estremi relativo. Ricerca degli estremi assoluti. Funzioni definite implicitamente. Teorema di Esistenza e Teorema di Derivabilità della funzione implicita sia nel caso scalare che vettoriale. Estremi vincolati e Teorema del Moltiplicatore di Lagrange. Condizione necessaria e condizione sufficiente per la ricerca dei punti di estremo vincolato.

3. MISURA E INTEGRAZIONE. Teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura elementare dei rettangoli intervalli e dei plurirettangoli. Misura degli aperti limitati e dei chiusi limitati. Nozione di misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: modularità, finita e numerabile additività, finita e numerabile subadditività, monotonìa, continuità verso l'alto, verso il basso, sottrattività ed altre proprietà. Completezza della misura. Funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili.Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n. Proprietà dell'integrale di Lebesgue e confronto con l'integrale di Riemann. Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teoremi di B.Levi e di Lebesgue. Integrazione per serie. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali. Coordinate polari nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione del (PC). Equazione integrale di Volterra. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il problema di Cauchy. Soluzioni massimali. Sistemi lineari. Globalità della soluzione di un sistema di equazioni lineari. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di Lagrange. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari a coefficienti costanti. Insieme delle soluzioni di un sistema, anche non omogeneo, di equazioni lineari a coefficienti costanti. Matrice esponenziale. Teorema di Putzer. Equazione di Eulero.

5. CURVE E SUPERFICI. Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari (regolari a tratti). Retta tangente e significato geometrico della differenziabilità secondo Frechet (esistenza dell'iperpiano tangente al grafico). Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè. Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi. Domini a connessione multipla e domini regolari. Formule di Gauss Green. Equazioni differenziali esatte. Superfici regolari e regolari a pezzi. Superfici orientabili. Integrali di superficie. Teoremi principali del calcolo vettoriale.

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Parte Prima, Pitagora Editrice Bologna 2018

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Foxwell and Davies Italia 2004 (chiedere al docente per la reperibilità del testo)

E' anche possibile consultare il sito internet del docente per un elenco esteso di testi di esercitazioni e compiti di anni accademici precedenti