Il corso, per un totale di 6CFU, è suddiviso in 4 parti di diversa ampiezza, come sotto delineato. Ognuna delle parti si conclude con uno o più casi studio di particolare importanza.

Parte I: Insiemi e Relazioni (1.5 CFU):

Introduzione alla Logica Proposizionale e agli operatori di base.

Il concetto di insieme e le proprietà di base. Insiemi ed operazioni tra di essi. Dimostrazione diretta. Esercizi su Insiemi

Famiglie di insiemi. Insieme prodotto. Paradossi.

Relazioni binarie e funzioni. Relazioni di Equivalenza. Relazioni d’ordine, Rappresentazione di insiemi finiti
Esercizi e Problemi su Relazioni e Famiglie di Insiemi. Il Problema del "Hitting Set"

Caso Studio: Famiglie di insiemi chiuse e la congettura Union-Closed

Parte II:Fondamenti di Teoria dei Numeri e metodologie di dimostrazione (1.5 CFU):

Numeri Interi

Introduzione e operazioni sui numeri interi. Principio di Induzione. Divisione tra interi. Divisibilità

MCD ed Algoritmo di Euclide. Numeri Primi e Coprimi. Criteri di divisibilità. Problemi ed Esercizi

Aritmetica Modulare

Congruenze. Proprietà delle congruenze. Invarianza rispetto a somma e prodotto: conseguenze ed esercizi

Funzione φ di Eulero

Definizione e formula generale. Il Teorema di Eulero. Esempi ed esercizi

Applicazioni dell’Aritmetica modulare

La prova del 9. Codici ISBN e Carte di Credito. Cifrari monoalfabetici a trasposizione

Teoria dei numeri e problemi aperti

Numeri primi di Mersenne e numeri perfetti. Numeri primi gemelli. La congettura di Goldbach



CASO STUDIO: Il problema 3x + 1 (Congettura di Collatz)

Parte III:Calcolo Combinatorio e Probabilità Discrete (1 CFU):

Calcolo Combinatorio

Introduzione. Disposizioni e combinazioni. Permutazioni e Combinazioni. Teorema Binomiale. Il triangolo di Pascal. Combinazioni con ripetizione.
Esercizi. Principio dei cassetti (Pigeonhole principle)

Probabilità Discrete

Introduzione. Formalizzazione Matematica. Assiomi e Proprietà. La regola di Bayes. Problemi d’urna.
Esercizi. Variabili casuali. Problemi ed esercizi

Caso Studio: Il paradosso di Monty Hall, giochi e paradossi probabilistici.

Parte IV:Grafi e Alberi (2.0 CFU):

1

Introduzione alla Teoria dei Grafi

Introduzione: strette di mano e passeggiate su ponti. Definizioni di base.
Gradi di un nodo. Classi particolari di grafi: Grafi regolari, Grafi completi, Grafi Bipartiti.

Sottografi, Isomorfismi e Omeomorfismi: Definizione di sottografo, Isomorfismi, Omeomorfismi.

Percorsi, cammini e cicli. Grafi connessi. Rappresentazione di un grafo. Numero di percorsi tra nodi. Grafi Euleriani ed Hamiltoniani. Grafi pesati.

Il problema del commesso viaggiatore. Grafi planari. Colorazione di un grafo.
Alberi: definizioni fondamentali e classi particolari di alberi.

CASI STUDIO:Problemi combinatori su grafi.

Nessun testo di riferimento specifico. Il docente fornirà agli studenti i lucidi del corso e quant'altro materiale necessario e sufficiente per completare ed approfondire gli argomenti discussi a lezione.

Il corso, per un totale di 6CFU, è suddiviso in 4 parti di diversa ampiezza, come sotto delineato. Ognuna delle parti si conclude con uno o più casi studio di particolare importanza.

Parte I: Insiemi e Relazioni (1.5 CFU):

Introduzione alla Logica Proposizionale e agli operatori di base.

Il concetto di insieme e le proprietà di base. Insiemi ed operazioni tra di essi. Dimostrazione diretta. Esercizi su Insiemi

Famiglie di insiemi. Insieme prodotto. Paradossi.

Relazioni binarie e funzioni. Relazioni di Equivalenza. Relazioni d’ordine, Rappresentazione di insiemi finiti
Esercizi e Problemi su Relazioni e Famiglie di Insiemi. Il Problema del "Hitting Set"

Caso Studio: Famiglie di insiemi chiuse e la congettura Union-Closed

Parte II:Fondamenti di Teoria dei Numeri e metodologie di dimostrazione (1.5 CFU):

Numeri Interi

Introduzione e operazioni sui numeri interi. Principio di Induzione. Divisione tra interi. Divisibilità

MCD ed Algoritmo di Euclide. Numeri Primi e Coprimi. Criteri di divisibilità. Problemi ed Esercizi

Aritmetica Modulare

Congruenze. Proprietà delle congruenze. Invarianza rispetto a somma e prodotto: conseguenze ed esercizi

Funzione φ di Eulero

Definizione e formula generale. Il Teorema di Eulero. Esempi ed esercizi

Applicazioni dell’Aritmetica modulare

La prova del 9. Codici ISBN e Carte di Credito. Cifrari monoalfabetici a trasposizione

Teoria dei numeri e problemi aperti

Numeri primi di Mersenne e numeri perfetti. Numeri primi gemelli. La congettura di Goldbach



CASO STUDIO: Il problema 3x + 1 (Congettura di Collatz)

Parte III:Calcolo Combinatorio e Probabilità Discrete (1 CFU):

Calcolo Combinatorio

Introduzione. Disposizioni e combinazioni. Permutazioni e Combinazioni. Teorema Binomiale. Il triangolo di Pascal. Combinazioni con ripetizione.
Esercizi. Principio dei cassetti (Pigeonhole principle)

Probabilità Discrete

Introduzione. Formalizzazione Matematica. Assiomi e Proprietà. La regola di Bayes. Problemi d’urna.
Esercizi. Variabili casuali. Problemi ed esercizi

Caso Studio: Il paradosso di Monty Hall, giochi e paradossi probabilistici.

Parte IV:Grafi e Alberi (2.0 CFU):

1

Introduzione alla Teoria dei Grafi

Introduzione: strette di mano e passeggiate su ponti. Definizioni di base.
Gradi di un nodo. Classi particolari di grafi: Grafi regolari, Grafi completi, Grafi Bipartiti.

Sottografi, Isomorfismi e Omeomorfismi: Definizione di sottografo, Isomorfismi, Omeomorfismi.

Percorsi, cammini e cicli. Grafi connessi. Rappresentazione di un grafo. Numero di percorsi tra nodi. Grafi Euleriani ed Hamiltoniani. Grafi pesati.

Il problema del commesso viaggiatore. Grafi planari. Colorazione di un grafo.
Alberi: definizioni fondamentali e classi particolari di alberi.

CASI STUDIO:Problemi combinatori su grafi.

Nessun testo di riferimento specifico. Il docente fornirà agli studenti i lucidi del corso e quant'altro materiale necessario e sufficiente per completare ed approfondire gli argomenti discussi a lezione.