I) -- Insiemi algebrici affini e proiettivi. Topologia di Zariski sullo spazio affine e proiettivo. Corrispondenza tra insieme algebrici affini e ideali radicali di un anello di polinomi (campo algebricamente chiuso). Insiemi algebrici irriducibili e loro corrispondenza con gli ideali primi di un anello di polinomi. Anello delle coordinate di una varietà affine e di una varietà proiettiva. Decomposizione di un insieme algebrico in componenti irriducibili e legami con la decomposizione primaria di un ideale. Dimensione di una varietà algebrica: versione topologica e algebrica.

II) -- Funzioni regolari su una varietà algebrica quasi-proiettiva: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Morfismi tra varietà: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Anello locale delle funzioni regolari su una varietà: definizioni e prime proprietà. Funzioni razionali su una varietà: definizione e prime proprietà. Applicazioni razionali (e birazionali) tra varietà: definizioni e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Corrispondenza tra applicazioni razionali dominanti e omomorfismi dei rispettivi campi di funzioni razionali. Funzioni regolari su una varietà proiettiva e applicazioni.

III) -- Prodotto di varietà algebriche: proprietà universale, esistenza e unicità. Esempi e applicazioni: morfismo grafico, morfismo diagonale, decomposizione di un morfismo tramite morfismo grafico e proiezioni dal prodotto. Teorema Fondamentale della Teoria della Eliminazione. Esempi e applicazioni.
IV) -- Punto non singolare di una varietà: definizione estrinseca e intrinseca. Luogo singolare. Scoppiamento di una varietà in un punto.
Cono tangente e spazio tangente a una varietà in un punto: definizioni intrinseche e estrinseche. Esempi e applicazioni. Definizione di molteplicità algebrica di un punto su una varietà. Confronto tra cono tangente e spazio tangente: criterio di non-singolarità.

V) -- Teorema della Dimensione delle Fibre. Applicazioni. Criterio Irriducibilità. Applicazione allo studio delle rette su superficie in $\mathbb P^3$
con particolare riguardo al caso cubico. Varietà duale e Teorema di Bertini.

1) R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag.

2) I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag.

3) D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Verlag.