Spazi vettoriali topologici. Definizione e caratterizzazione delle topologie vettoriali. Caratterizzazione
degli spazi vettoriali topologici di Hausdorff. Spazi vettoriali topologici localmente
convessi e loro caratterizzazione. Topologia della convergenza uniforme sui compatti dello spazioC(S) con S aperto di R_n. Topologia vettoriale non localmente convessa sullo spazio C([0,1]). Metrizzabilità degli spazi localmente convessi. Normabilità di uno spazio vettoriale topologico. Spazi normati. Spazi di Banach.Spazi vettoriali topologici di Hausdorff aventi dimensione finita. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Funzionale di Minkowski. Teorema di Hahn-Banach e suoi corollari. Teoremi di separazione.

Operatori e funzionali lineari. Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatori
lineari e continui tra due spazi normati. Il teorema della Mappa aperta ed applicazioni. Il teorema del grafico chiuso. Il principio dell' uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus. Aggiunto di un operatore.

Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff localmente convesso.
Coincidenza della chiusura e della chiusura debole di un insieme convesso.
Teorema di Mazur. Minimizzazione dei funzionali quasi convessi semicontinui inferiormente
su insiemi debolmente compatti. Confronto tra la topologia forte,
la topologia debole e la topologia debole stella nel duale topologico di uno spazio normato.
Teorema di Krein-Smulyan. Teorema di Eberlein-Smulyan. Caratterizzazione della finito-dimensionalità di uno spazio normato mediante la coincidenza della topologia forte e della topologia debole. Il teorema di Banach Alaoglu. Il teorema di Goldstine.

Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Caratterizzazione
degli spazi di Banach riflessivi e separabili. Metrizzabilità degli insiemi debolmente compatti
negli spazi normati separabili. Separabilità e topologie deboli. Spazi uniformementi
convessi. Teorema di Milman-Pettis.

Spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione delle
norme pre-hilbertiane. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Rappresentazione di uno spazio di Hilbert come
somma diretta di un suo sottospazio vettoriale chiuso e del complemento ortogonale di
questo. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli
spazi di Hilbert. Teorema di Stampacchia e di Lax Milgram. Insiemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili.Spazi di Sobolev. Derivate deboli. Lo spazio W^{1,p}: definizione e proprietà. Caratterizzazioni delle funzioni in W^{1,p}. teoremi di immersione.Teorema di Rellich- Kondrachov. Lo spazio W^{1,p}_0. Formulazione variazionale di problemi ai limiti.

1.H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev spaces and Partial
Differential Equations, Springer

2.L.
V. Kantorovich, G. P. Akilov, Analisi funzionale, Editori Riuniti.

3. R.Megginson An Introduction to Banach space Theory, Springer

4. H.H. Schaefer, Topological Vector spaces, Springer

Spazi vettoriali topologici. Definizione e caratterizzazione degli spazi vettoriali topologici. Caratterizzazionedegli spazi vettoriali topologici di Hausdorff. Spazi vettoriali topologici localmenteconvessi e loro caratterizzazione. Topologia della convergenza uniforme sui compatti dello spazioC(S)con S aperto di Rn. Topologia vettoriale non localmente convessa sullo spazio C([0,1]). Metrizzabilità degli spazi localmente convessi. Normabilità di uno spazio vettoriale topologico. Spazi normati. Spazi di Banach.Spazi vettoriali topologici di Hausdorff aventi dimensione finita. Caratterizzazionedi Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato.Funzionale di Minkowski. Teorema di Hahn-Banach e suoi corollari. Teoremi di separazione.Operatori e funzionali lineari.Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatorilineari e continui tra due spazi normati. Il teorema della Mappa aperta ed applicazioni. Il teorema del grafico chiuso. Il principiodell'uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus.Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff localmente convesso.Coincidenza della chiusura convessa e della chiusura convessa debole di un insieme.Teorema di Mazur. Minimizzazione dei funzionali quasi convessi semicontinui inferiormentesu insiemi debolmente compatti. Confronto tra la topologia forte,la topologia debole e la topologia debole stella nel duale topologico di uno spazio normato.Teorema di Krein-Smulyan. Teorema di Eberlein-Smulyan. Caratterizzazione della finito-dimensionalità di uno spazio normato mediantela coincidenza della topologia forte e della topologia debole. Il teorema di Banach Alaoglu. Il teorema di Goldstine.Spazi di Banach riflessivi.Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Caratterizzazione degli spazi di Banach riflessivi e separabili. Metrizzabilità degli insiemi debolmente compattinegli spazi normati separabili. Separabilità e topologie deboli. Spazi uniformementi convessi. Teorema di Milman-Pettis.Spazi di Hilbert.Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione dellenorme pre-hilbertiane. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Rappresentazione di uno spazio di Hilbert comesomma diretta di un suo sottospazio vettoriale chiuso e del complemento ortogonale diquesto. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui neglispazi di Hilbert. Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram. Insiemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili.Spazi di Sobolev. Derivate deboli. Lo spazio W1,p: definizione e proprietà. Caratterizzazione delle funzioni di W1,p. Teoremi di immersione. Teorema di Rellich-Kondrachov. Lo spazio W01,p. Formulazione variazionale di problemi ai limiti.

1.H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev spaces and Partial Differential Equations, Springer2.L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Analisi funzionale, Editori Riuniti.3. R.Megginson An Introduction to Banach space Theory, Springer4. H.H. Schaefer, Topological Vector spaces, Springer