Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso e sul Team. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma.Algebra dei germi di funzioni differenziabili in un punto. Formula di Taylor senza resto per intorni aperti stellati di un punto. Spazio tangente di Zariski $(m/m^2)^*$ per $k=\infty, 0$ e per $0Definizione di varietà topologica di dimensione $n$. Prime conseguenze. Esempi astratti e immersi. Varietà differenziabili di dimensione $n$. Atlante massimale di una varietà differenziabile. Esempi di varietà differenziabili. Cambi di coordinate della proiezione stereografica nella sfera $S^n$. Superfici differenziabili e atlanti olomorfi (superfici di Riemann). Funzioni differenziabili su una varietà differenziabile. Mappe tra varietà differenziabili. Germi delle funzioni differenziabili in un punto. Composizione di mappe differenziabili. Diffeomorfismi tra varietà differenziabili. Gruppi di Lie. Spazio tangente a una varietà differenziabile. Differenziale di una mappa come applicazione lineare tra spazi tangenti. Regola della derivazione composta. Matrice jacobiana e matrice di cambiamento delle basi naturali degli spazi tangenti. Legge di cambiamento di coordinate dei campi vettoriali. Espressione tramite matrice jacobiana. Definizione della metrica sferica su $\mathbb R^n$ tramite proiezione stereografica. Esempi di calcoli di lunghezze e aree nella metrica sferica e loro interpretazione sulla sfera. Descrizione dello spazio tangente immerso come spazio dei vettori tangenti a curve locali. Esempi dei gruppi algebrici.Spazio tangente di una varietà prodotto come prodotto dello spazio tangente dei fattori. Applicazione all’ espressione del jacobiano nell’ identità di un gruppo di Lie. Sottovarietà regolari di una varietà differenziabile. Esempi degli insiemi di livello di valori regolari di mappe. Costruzione della carta adattata tramite Teorema della Funzione Inversa/Implicita. Applicazione allo studio di $SL_n\mathbb R$ e di $SO(n)$.Mappe quoziente e caso dei rivestimenti topologici con enfasi al caso compatto e di diffeomorfismi locali. Proprietà di estensione e restrizioni di mappe a sottovarietà regolari. Esempi e controesempi dalla lista di esercizi. Sistemi di equazioni polinomiali e varietà differenziabili reali in assenza di punti singolari. Teorema Nash-Tognoli e Congettura di Nash. Applicazioni al caso di superfici di Riemann compatte e al Teorema Fondamentale dell’ Algebra.Fibrato tangente a una varietà differenziabile come varietà differenziabile. Campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente. Fibrato cotangente e forme differenziali. Fibrati tensoriali di tipo $(p,q)$ e campi tensoriali come sezione dei fibrati tensoriali. Fibrati di tipo $(0,q)$ e pullback di tensori di questo tipo tramite mappe differenziabili. Fibrati vettoriali su una varietà differenziabile. Fibrati banali. Mappe tra fibrati e isomorfismo di fibrati. Nastro di M\" obius.Restrizione di un fibrato vettoriale a una sottovarietà regolare. $C^\infty$-modulo delle sezioni di un fibrato vettoriale. Mappe tra fibrati e mappe indotte tra le sezioni locali e globali. Applicazione al nastro di Moebius. Riferimenti in un fibrato vettoriale. Varietà parallelizzabili. Esempi di varietà parallelizzabili: $R^n$, $S^1$, gruppi di Lie, $S^3$. Caratterizzazione dei riferimenti $C^\infty$. Applicazione ai campi vettoriali e alle forme differenziali. Partizione dell’ unità. Applicazioni ai campi vettoriali, alle forme differenziali e ai campi tensoriali.Costruzione di fibrati vettoriali tramite funzioni di transizione su una copertura. Applicazioni. Sottofibrati e fibrati quoziente. Pullback di un fibrato. Metrica Riemanniana, varietà riemanniana e isometrie tra varietà riemanniane. Varietà riemanniane piatte e localmente piatte. Esistenza di metriche riemanniane tramite partizione dell’ unità. Riferimenti locali ortonormali del fibrato tangente a una varietà riemanniana.Fibrato normale a una sottovarietà regolare. Campi vettoriali normali. Fibrato normale a una ipersuperficie regolare=varietà di livello. Caratterizzazione delle sfere di dimensione dispari come le uniche sfere che ammettono una sezione del fibrato tangente che non si annulla in nessun punto. Applicazione ai moduli proiettivi finitamente generati non liberi ma stabilmente liberi: modulo sezioni globali fibrato tangente a una sfera di dimensione pari. K-teoria algebrica. Costruzione di Grothendieck. Esempi di K-teoria di un anello. Caso dei moduli proiettivi finitamente generati e dei fibrati vettoriali su una varietà. Teorema di Swan. Equivalenza fibrati su una varietà e $C^\infty$-moduli proiettivi finitamente generati.Isometria tra il disco con la metrica di Poincaré e il semipiano di Poincaré. Esempi di varietà riemanniane: ipersuperfici regolari di livello, grafici di una funzione, superfici di rotazione, pseudosfera di Beltrami, varietà prodotto. Lunghezze e distanze su una varietà riemanniana connessa. Parametro arco e riparametrizzazione di una curva regolare. Varietà riemanniane complete e varietà omogenee. Studio locale delle curve differenziabili in $\mathbb E^n$. Curvature. Formule per il caso $n=3$ via riferimento di Frénet. Esempi e applicazioniFormule di Frénet per parametrizzazioni arbitrarie. Curvatura normale in un punto di superfici regolari in $\mathbb E^3$ dotate della metrica indotta. Punti ombelicali, curvature principali e direzioni principali. Curvatura media e curvatura gaussiana in un punto. Esempi: piano, cilindro, sfera, superfici omogenee hanno curvatura costante. Derivazioni di campi vettoriali in $\mathbb E^n$. Derivazione di campi vettoriali lungo una curva regolare in $\mathbb E^n$. Commutatore di campi vettoriali.Proprietà formali della derivazione di campi vettoriali su $\mathbb E^n$. Torsione della derivazione covariante su $\mathbb E^n$. Curvatura della derivazione covariante. Derivata covariante di campi vettoriali tangenti a una sottovarietà regolare tramite la derivazione covariante dello spazio ambiente. Proprietà formali della derivazione covariante. Operatore forma di una superficie regolare nello spazio. Prima proprietà. Prima e seconda forma fondamentale. Esempi. Punto ellittici, iperbolici e parabolici di una superficie. Curvatura come quoziente dei determinanti della seconda e della prima forma fondamentale. Esempi: grafici, superfici di rotazione, sviluppabili delle tangenti. Pseudosfera di Beltrami. Teorema Egregium di Gauss: dimostrazione tramite la formula di Brioschi. Applicazione della Formula di Brioschi al caso del semipiano di PoincaréConnessioni affini. Tensore di torsione di una connessione affine. Tensore di Curvatura di una connessione affine. Connessione Riemanniana e Teorema Fondamentale della Geometria Riemanniana. Connessione Riemanniana su una superficie regolare nello spazio. Formule di Gauss per il tensore di Curvatura e equazione di Codazzi-Mainardi. Dimostrazione del Teorema Egregium tramite derivazione covariante.Dimostrazione delle formule di Gauss e di Codazzi-Mainardi. Invarianza della curvatura di una superfici per isometrie via tensore di curvatura di Riemann. Geodetiche: definizione e loro equazioni differenziali locali. Esempi notevoli: piano, cilindro, sfere, semipiano di Poincaré.Derivazione covariante lungo una curva: definizione e prime proprietà. Determinazione delle geodetiche del semipiano di Poincaré e cenni di modelli di geometrie non euclidee. Trasporto parallelo lungo una curva. Dipendenza della soluzione delle equazioni differenziali delle geodetiche dai dati iniziali e mappa esponenziale di una varietà Riemanniana in un punto.Applicazioni geometriche della mappa esponenziale. Coordinate normali e coordinate normali polari in un punto di una varietà riemanniana con enfasi sul caso delle superfici. Lemma di Gauss. Formula della curvatura nelle coordinate normali polari. Sviluppo di Taylor della curvatura in un intorno di un punto di una superficie e applicazioni. Somma angoli interni triangolo geodetico in funzione della curvatura.Varietà Riemanniane complete e geodetiche. Caratterizzazione tramite mappa esponenziale. Applicazioni alle superfici di $\mathbb E^3$. Esponenziale di una matrice e mappa esponenziale di un gruppo algebrico di matrici. Esempi, applicazioni, esercizi.

[0] F. Russo, Note del Corso "Geometria Differenziale", PDF freely available on request, 2022.[1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1986.[3] E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 1994.[4] L. Tu, An Introduction to Manifolds, Second Edition, Springer, 2010.[5] L. Tu, Differential Geometry, Springer 2017.[6] J. M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, Second Edition, Springer, 2018.