Le basi della topologia algebrica. Teoria della omotopia.Parte I: omotopia di funzioni e di cammini. Definizione del gruppo fondamentale. Omomorfismo indotto da una funzione continua e sue proprieta' omotopiche. Spazi contraibili e deformazioni. Il gruppo fondamentale della sfera. Spazi proiettivi reali e complessi. Semplice connessione dello spazio proiettivo complesso. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Calcolo del gruppo fondamentale del piano proiettivo reale. I teoremi di Brouwer e Borsuk-Ulam in dimensione 1 e 2. Il teorema della curva di Jordan.Parte II:Simplessi euclidei e simplessi sferici. Triangolazioni dellasfera e mappa propria dei vertici. Definizione del grado di unafunzione continua tra sfere omodimensionali. Invarianza peromotopia del grado di una funzione continua. Il teorema del puntofisso di Brouwer e le sue forme equivalenti. Funzioni continuetra sfere di dimensioni diverse e applicazioni. Estensione difunzioni a valori in una sfera. Il teorema di Borsuk. Invariantiposizionali. Il teorema di separazione di Borsuk. Il teoremasull'invarianza del dominio. Verso la forma completa del teoremadi separazione di Jordan. I teoremi di Eilemberg e Janaszewski.Il teorema della curva di Jordan (seconda dimostrazione).

1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.

3. W. Massey"Singular homology theory