(II modulo)

Meccanica dei Continui

Fluidi non viscosi, fluidi stokesiani, Equazioni di Navier Stokes.

Programma completo:

Cenni di teoria dei campi. Gradiente, divergenza, rotore. Campi
conservativi. Gradiente e divergenza di un campo tensoriale.
Cinematica dei sistemi continui. Punti di vista lagrangiano ed
euleriano. Rappresentazione lagrangiana del moto. Rappresentazione
euleriana del moto. Linee di corrente e linee di flusso. Identità
cinematiche. Formula di Eulero, teorema del trasporto. Formula
fondamentale della cinematica dei sistemi continui. Coefficienti
di dilatazione lineare e cubica. Deformazioni angolari. L'atto di
moto rigido come caso particolare di un generico atto di moto
continuo.

Dinamica dei mezzi continui. Bilancio della massa,
equazione di continuità. Assioma degli sforzi di Cauchy. Bilancio
della quantità di moto e del momento delle quantità di moto.
Teorema di Cauchy e tensore degli sforzi. Equazione locale del
bilancio della quantità di moto. Equazione locale del bilancio del
momento delle quantità di moto, simmetria del tensore degli
sforzi. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi continui.
Bilancio dell'energia: primo principio della termodinamica.
Secondo principio della termodinamica. Fluidi perfetti: equazione
costitutiva dei fluidi non viscosi. Equazione caratteristica dei
fluidi perfetti. Fluido perfetto barotropico in equilibrio sotto
l'azione di forze conservative. Teorema di Bernoulli. Grandezze
oggettive. Processi termocinetici e termodinamici. Storia di una
funzione. Assiomi fondamentali delle equazioni costitutive. Una
classe di sistemi continui omogenei senza memoria.

Fluidi stokesiani. Rappresentazione del tensore degli sforzi nei
fluidi stokesiani. Pressione. Fluidi polinomiali. Fluidi newtoniani.
Tesore degli sforzi viscosi: funzione di dissipazione. Il problema del
moto dei fluidi newtoniani. Equazione di Navier-Stokes. Condizioni al
contorno. Equazioni adimensionali. Problema ai valori iniziali e al
contorno per le equazioni di Navier-Stokes. Soluzioni classiche.
Esempi di soluzioni classiche. Moti piani di Couette e
di Poiseuille. Equazioni di moto di
un fluido newtoniano incomprimibile. Equazione del moto differenza.
Equazione dell'energia. Teorema di unicità. Disuguaglianza di
Poincaré. Stabilità di un fluido viscoso incomprimibile.
Metodo di stabilità lineare e metodo di Lyapunov. Stabilità
in energia. Teoremi di stabilit\`a universale di Serrin. Problema
variazionale associato. Cenno ai problemi di convezione: problema di Bénard.

[1] G. MULONE, Appunti di elementi di meccanica dei continui.

[2] T. RUGGERI, Introduzione della termomeccanica dei continui, II edizione riveduta e corretta, Monduzzi Editoriale, 2014.

[3] J. FLAVIN, S. RIONERO, Qualitative estimates for partial differential equations. An introduction. Boca Raton, Florida: CRC Press, 1996.

[4] T. MANACORDA, Introduzione alla termomeccanica dei continui, QUMI, ed. Pitagora.

[5] S. RIONERO, Lezioni di Meccanica Razionale, ed. Liguori.

[6] J. SERRIN, Mathematical principles of Classical Fluid Mechanics, Handbuk der Phisick VIII/1, 1959.

[7] C. TRUESDELL, The elements of continuum Mechanics, ed. SpringerVerlag.