Richiami di modelli retti da equazioni alle derivate parziali: equazioni di Poisson, del calore e delle onde.

Richiami di buona positura dei problemi per le equazioni differenziali della Fisica Matematica.

Equazione del calore. Richiami su alcuni procedimenti per ottenere soluzioni esatte in casi particolari: metodo di Fourier e di separazione delle variabili.
Metodo di Eulero in avanti. Analisi della stabilità: metodo di von Neuman. Metodi impliciti: schema di Eulero all'indietro e di Crank-Nicholson. Sistemi tridiagonali.Equazioni del calore con coefficienti variabili. Consistenza, convergenza e stabilità dei metodi alle differenze finite per problemi ai valori iniziali. Teorema di equivalenza di Lax (enunciato). Equazione del calore in più dimensioni. Metodi a passi frazionari. Metodi Alternate Direction Implicit (ADI).

Equazioni ellittiche. Metodo alle differenze finite per l’equazione di Poisson su griglie Cartesiane. Discretizzazione di tipo vertex-center e cell-center. Il problema delle condizioni al contorno (condizioni di Dirichlet e di Neumann) Metodi di tipo level set e ghost point per il trattamento di geometrie arbitrarie. Medoto Multigrid per la risoluzione del relativo sistema algebrico sparso (cenni).

Equazioni iperboliche. Singola equazione scalare lineare. Il metodo delle caratteristiche.

Metodi alle differenze finite. I metodi a tre punti: upwind, Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff.Consistenza e stabilità. Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy e dominio di dipendenza dai dati.
Metodi del primo ordine e del secondo ordine. Equazione modificata, dissipazione e dispersione.Equazione di Burgers. Metodo delle caratteristiche. Soluzioni discontinue.

Oltre agli argomenti sopra elencati, durante il corso si svolgeranno esercitazioni in Matlab o in Python (utilizzando numpy) che illustrano l'implementazione di alcuni metodi di base.

Nota bene. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Randall Le Veque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM 2007.

Un singolo libro per la trattazione di metodi alle differenze finite sia per equazioni differenzialo ordinarie che alle derivate parziali. Alcuni argomenti sulle EDP sono tratti da questo testo.



John Strickwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations Paperback – September 30, 2007.

Ottimo testo introduttivo sui metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali.



Robert D. Richtmyer, K. W. Morton,Difference methods for initial-value problems,Interscience Publishers, 1967 - 405 pages

Un classico testo, ancora validissimo per molti concetti di base


K. W. Morton and D. F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction, University of Oxford, UK, Second Edition

Una introduzione ai metodi numerici (principalmente alle differenze finite) per le equazioni differenziali della fisica matematica.