Corso di laurea: Matematica Programmazione per l'A.A. 2019/2020

I. Anelli e ideali. Prime proprietà degli anelli commutativi con unità. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Omomorfismi. Ideali estesi e ideali contratti.

II. Moduli. Definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Omomorfismi tra moduli. Algebre.

III. Anelli e moduli di frazioni. Definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni.

IV. Anelli noetheriani. Varietà affini, K-algebre affini e dizionario di base algebra-geometria algebrica. Dimensione di Krull. Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. Il teorema della base di Hilbert. Condizioni perché una sottoalgebra sia finitamente generata.

V. Anelli artiniani. Anelli e moduli artiniani. Serie di composizione. Lunghezza. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero.

VI. Decomposizione primaria. Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate. Il caso noetheriano.

VII. Teorema degli zeri di Hilbert: forma debole e forma forte.

VIII. Dipendenza integrale. Definizioni e prime proprietà. Teorema del Going Up. Domini normali e Teorema del Going Down. Lemma di normalizzazione di Noether.

IX. Cenni di teoria della dimensione. Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. Dimensione degli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Anelli locali. Sistema di parametri. Dimensione di immersione. Anelli locali regolari (solo definizione e importanza geometrica).

M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli, 1981

INTRODUZIONE ALL’OTTIMIZZAZIONE MATEMATICA Modelli e sistemi decisionali. Esistenza delle
soluzioni. Soluzione grafica di un problema di ottimizzazione.
GEOMETRIA VARIAZIONALE Coni, coni tangenti, coni normali.
CONDIZIONI DI OTTIMALITÀ Condizioni di ottimalità per problemi non vincolati. Punti regolari.
Moltiplicatori di Lagrange. Condizioni di ottimalità per problemi con vincoli di uguaglianza. Condizioni
generalizzate. Problemi duali.
METODI RISOLUTIVI Preliminari sui metodi di ottimizzazione. Classificazione e convergenza dei metodi.
Soluzioni globali e locali. Ottimizzazione non vincolata. Metodi di ricerca unidimensionale. Il metodo del
gradiente. Il metodo del gradiente coniugato. Il metodo di Newton. Ottimizzazione vincolata. Il metodo di
penalità. Il metodo di barriera logaritmica. Il metodo del Lagrangiano aumentato. Programmazione
quadratica sequenziale.
OTTIMIZZAZIONE MULTIOBIETTIVO Ottimo secondo Pareto. Frontiera efficiente. Metodi risolutivi.
GENERATORI ALGEBRICI DI MODELLI Linguaggio AMPL. Struttura di un programma AMPL. Istruzioni
elementari AMPL: insiemi, parametri, variabili. Espressioni algebriche e logiche. Funzione obiettivo e
vincoli con espressioni di indicizzazione. Risoluzione e visualizzazione dei risultati.
APPLICAZIONI

I. Capuzzo Dolcetta, F. Lanzara, A. Siconolfi, Lezioni di ottimizzazione - Nuova Cultura, 2013
2. R. Tadei, F. Della Croce, A. Grosso, “Fondamenti di Ottimizzazione”, Società Editrice Esculapio,
2005;
3. M. Bruglieri, A. Colorni, “Ricerca Operativa”, Zanichelli, 2012;
4. F. Fumero, Metodi di ottimizzazione. Esercizi ed applicazioni - Esculapio, 2013

1. Preliminari
Mollificatori e loro proprietà di regolarità. Continuità della traslazione in $L^p$. Lemma di Urysohn. Teorema di Okikiolu e sue conseguenze.
Densità delle funzioni regolari in $L^p$.

2. Soluzioni classiche
Equazioni ellittiche: Teorema di Gauss o della Divergenza. Funzioni Armoniche. Formule di Media e caratterizzazione delle funzioni armoniche. Regolarità delle funzioni armoniche. Principio di massimo. Problema di Dirichlet (Unicità). Disuguaglianza di Harnack. Teorema di Liouville. Formule di rappresentazione. Funzione di Green. Nucleo di Poisson. Problema di Dirichlet - Esistenza della soluzione classica nel caso di dominio regolare. Metodo di Perron. Barriere e punti regolari.

Equazioni paraboliche:
Equazione del calore e sua origine fisica. Nozione di soluzione. Problema di Dirichlet e problema di Cauchy. Soluzione fondamentale. Formule di rappresentazione. Il principio di massimo. Applicazione ai problemi di Cauchy e di Dirichlet. La disuguaglianza di Harnack.

Equazioni iperboliche:
Equazione delle onde e sua origine fisica. Nozione di soluzione. Problema di Dirichlet e problema di Cauchy.

3. Soluzioni generalizzate
Cenni sulla teoria delle distribuzioni e sugli spazi di Sobolev. Lo spazio $BMO$. Operatori ellittici e problema della regolarità.
Soluzioni variazionali. Esistenza ed unicità della soluzione debole per il problema di Dirichlet. La disuguaglianza di Harnack. Il Teorema di De Giorgi - Nash - Moser. Cenno a qualche equazione non lineare.

S.Salsa Equazioni alle derivate parziali 3ed. Springer (2016)
Quing Han A Basic Course in Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics Vol. 120 (2011)
G.B. Folland An introduction to Partial Differential Equations Princeton Univ. Press (1976)
D.Gilbarg, N.S.Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of second order Springer Verlag (1983)
Ya-Zhe Chen, Lan-Cheng Wu Second order Elliptic Equations and Elliptic Systems Translation of Mathematical Monographs vol. 174 (1998).