Corso di laurea: Matematica Programmazione per l'A.A. 2021/2022

N.B.: Gli aromenti contrassegnati con un asterisco devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.

1. *Insiemi e Logica.Concetti di base sugli insiemi, logica elementare.

2. *I numeri. I numeri naturali, relativi, razionali e reali.Assioma di continuita' dei numeri reali. Estremi inferiore e superiore di un insieme numerico. Valore assoluto e sue proprieta'. Radicali, potenze, logaritmi. Principio di induzione. Numeri complessi.

3. *Funzioni di una variabile reale. Concetto di funzione. Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Funzioni elementari. Funzioni iperboliche. Funzioni composte e funzioni inverse.

4. *Limiti e continuita'.Successioni numeriche. Definizione di limite. Teroemi fondamentali sui limiti. Calcolo dei limiti. Il numero di Nepero. Confronti e e stime asintotiche. Limiti di funzioni, continuita', asintoti. Teoremi fondamentali sui limiti di funzioni. Calcolo dei limiti. Limiti notevoli. Confronti e stime asintotiche. Grafico di una funzione. Proprieta' fondamentali delle funzioni continue.

5. *Serie numeriche. Definizione di serie. Esempi di serie numeriche. Algebra delle serie. Teoremi fondamentali sulle serie. Serie a termini non negativi. Serie a termini di segno variabile. Serie numeriche notevoli.

[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica uno, Zanichelli.

[3] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

[3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi matematica 1, Monduzzi Editoriale

Ulteriori conoscenze linguistiche/LINGUA INGLESE: 6 CFU

I SEMESTRE

COURSE SYLLABUS

Prima parte

Studio del lessico inglese specifico, delle strutture morfo-sintattiche dell’inglese in campo scientifico e delle funzioni comunicative/argomentative tipiche del discorso in ambito scientifico:

a)working with vocabulary: key nouns, key verbs, key adjectives, key adverbs, phrasal verbs.

b)at academic institutions: academic courses, applications and application forms.

c)ways of talking about: sources, facts, data and numbers.

d)opinions and ideas: analysis of results, talking about meaning, research and study aims, talking about points of view.

Seconda parte

Focus suESP/English for Scientific Purposes ovveroMicrolingua e sul linguaggio tecnico specifico del campo matematico, attraverso l’uso di materiale testuale e audio, per rafforzare le capacità di listening,reading, writing e speaking. Lo studente alla fine del corso dovrà dimostrare di aver acquisito la conoscenza di un lessico scientifico appropriato e di saper leggere e tradurre brevi testi scientifici:

a) reading and translating a text.

b) writing abstracts, reports, summaries, CV and demonstration of a theorem (functions: background, purpose, methods and discussion).

c) presenting a topic using power-point or prezi, describing research methods, processes and procedures, classifying, comparing and contrasting.

RISORSE

Lezioni con handouts e slides; presentazioni di powerpoint/prezi; web quest e 'non googleable question’.

TESTI DI RIFERIMENTO (consigliati)

1)Cambridge English for Scientists, Cambridge University Press; Cambridge Academic English-Upper Intermediate, Cambridge University Press; Scientific English, Zanichelli; P.Emmerson, E-mail English, Macmillan; A.Wallwork, English for Presentation at International Conferences - Springer Science, Oxford University Press.

2)Grammatiche: R.Murphy, English Grammar in Use, Cambridge; F.Galuzzi, Activating Grammar, Pearson/Longman.

3)Dizionari: Collins Student’s Dictionary Plus Grammar, Collins COBUILD London; Oxford Advanced Learner’s Dictionary, Oxford University Press.

4)Dispense su STUDIUM.

Prima parte (circa un terzo del corso)

a) Teoria degli insiemi.

Insiemi e operazioni tra insiemi. Funzioni o applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di applicazioni.Relazioni. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti. Relazioni d'ordine. Massimi e minimi, elementi minimali e massimali, maggioranti e minoranti, estremo superiore ed estremo inferiore.

b) I numeri.

I numeri naturali. Il principio di induzione.

Cardinalità di insiemi. Insiemi numerabili. |A| 2^A|. Potenza del continuo. Lemma di Zorn e assioma della scelta (cenni).

I numeri interi. Massimo comune divisore e l'algoritmo euclideo. Identità di Bézout. Fattorizzazione in Z e alcune conseguenze. I numeri razionali. La struttura di campo ordinato di Q.

Congruenze e le classi di resto: prime proprietà e applicazioni. Criteri di divisibilità. Risoluzione di congruenze lineari. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero-Fermat.

Cenno sui numeri reali come campo ordinato. I numeri complessi. Forme algebriche e trigonometriche dei numeri complessi. Radici dei numeri complessi. Le radici complesse dell'unità. Il Teorema fondamentale dell'Algebra (senza dim.).



Seconda parte: teoria delle strutture algebriche.

a) Teoria degli anelli (circa un terzo del corso)

Prime definizioni ed esempi. Domini d’integrità, corpi e campi. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anelli quozienti. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Sottoanelli ed ideali rispetto ad un omomorfismo. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi ed ideali massimali. Immersione di un dominio in un campo. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità. Anelli di polinomi a coefficienti in un anello. Funzioni polinomiali e polinomi. Teorema di Ruffini.

Divisibilità in un anello. Elementi primi ed irriducibili.Domini euclidei. Domini ad ideali principali. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione. Confronto tra gli anelli studiati e loro applicazioni. Divisione tra polinomi su un campo: l'algoritmo di divisione.Identità di Bézout. MCD e mcm. Lemma di Gauss e Teorema di Gauss per A[x], con A UFD. Criteri di irriducibilità in A[x]. Il criterio di Eisenstein. Irriducibilità nel passaggio ai quozienti.



b) Teoria dei gruppi (circa un terzo del corso)

Prime definizioni ed esempi. Sottogruppi. Gruppi ciclici. Il gruppo simmetrico e il gruppo alterno. I gruppi diedrali. Classi laterali e Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi. Relazioni tra sottogruppi in un omomorfismo. I teoremi dell'omomorfismo e dell'isomorfismo. Il Teorema di Cayley. L'azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Relazione di coniugio ed equazione di classe. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. Il Teorema di Cauchy ed i Teoremi di Sylow. Somma diretta di gruppi. Teorema sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti.

​1. G. Piacentini Cattaneo - Algebra - Zanichelli.

2. A. Ragusa - Corso di Algebra (Un approccio amichevole) - Aracne Ed.

3. M. Fontana - S. Gabelli- Insiemi numeri e polinomi - CISU

ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):


Operazioni su un insieme.
Matrici ad elementi in un campo e loro proprietà.
Spazi vettoriali e loro proprietà .
Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari.
Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
Prodotto scalare in uno spazio reale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali.


GEOMETRIA ANALITICA (II semestre, parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)


I vettori geometrici dello spazio ordinario.
Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Rette reali del piano e loro equazioni. Ortogonalità e parallelismo. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Distanze.
Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Classificazione delle coniche irriducibili. Polarità. Fasci di coniche.
Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Sezioni delle quadriche con piani tangenti. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sfere. Sezioni piane di una quadrica.
Cenni sugli spazi affini*

Note del docente su Algebra Lineare da integrare
Note del docente su Geometria da integrare
E. Sernesi, Geometria 1,Bollati- Boringhieri, II edition, 1989 (Geometry)

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile. Equazioni differenziali ordinarie.

G.Di Fazio - P. Zamboni Analisi Matematica Uno - seconda edizione – Monduzzi (2013)
G. Di Fazio - P. Zamboni Esercizi di Analisi Matematica Uno – Edises (2013).
M. Bramanti Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Ed. Esculapio (2011)
G. De Marco Esercizi di calcolo in una variabile Ed.Zanichelli – Decibel (2001)

Introduzione alla programmazione

Problemi ed Algoritmi. Variabili, Espressioni ed Assegnazioni.
Diagrammi di flusso, Notazione lineare strutturata, Teorema di Böhm-Jacopini.
Codifica dell'informazione: numeri interi ed a virgola mobile, caratteri, stringhe, immagini e suoni (cenni).


Linguaggi di programmazione

Linguaggi di programmazione: macchina, assembly e di alto livello.
Problema della traduzione : compilazione ed interpretazione.
Installazione dell'ambiente di sviluppo per il linguaggio Python. Primo programma: Editing, Running, Debugging.


Costrutti del linguaggio Python

Sintassi di base, Tipi di dato, Operatori predefiniti, Gestione dell’I/O.
Numeri e funzioni matematiche.
Controllo del flusso: costrutti di selezione ed iterativi.
Funzioni.


Strutture dati predefinite in Python

Stringhe.
Liste, Tuple.
Insiemi, Dizionari.


Argomenti avanzati

Algoritmi notevoli: Ricerca, Ordinamento, Fusione. Cenni di complessità computazionale.
Funzioni ricorsive.
Moduli. Cenni alle librerie matematiche NumPy e SciPy ed alla libreria grafica PlotPy.

(1) A.Downey, Think Python, 2nd Ed., Grean Tea Press (disponibile online).
(2) C.Horstmann - R.Necaise, Concetti di Informatica e fondamenti di Python, 2nd. Ed., Maggioli Editore.
(3) M.Lutz, Learning Python, 4th Ed., O'Reilly (disponibile online).
(4) D.Pine, Introduction to Python for Science and Engineering, SMTEBooks - CRC Press (disponibile online).

Relativamente allo svolgimento del corso, il testo (2) è adottato.

Si tenga presente che tutti i testi sopraindicati sono comunque idonei al conseguimento degli obiettivi dell'apprendimento, considerando che:

- il libro (2) è consigliato ai principianti in quanto introduttivo alla programmazione e con una grande quantità di esercizi presenti in esso;
- il libro (3) è di livello avanzato ed è consigliato a chi è già nota la programmazione.

Parte del corso sarà dedicata ad acquisire capacità di scrittura di testi matematici con l'ausilio del LaTeX. Altra parte del corso sarà dedicata all'uso di due linguaggi informatici: Mathematica e Matlab, per ottenere in forma grafica la rappresentazione di risultati matematici. Tali rappresentazioni grafiche saranno poi integrate in documenti TeX scritti dagli studenti.

1. T. Oetiker, H. Partl, I. Hyna, E. Schlegl (1999). The not so short introduction to LaTeX. Retrieved from https://tobi.oetiker.ch/lshort/lshort.pdf

2. G.Naldi, L.Pareschi Matlab: concetti e progetti Apogeo 2002

3. Note del docente

Il corso tratta le principali metodologie di progettazione di algoritmi (incrementale, ricorsiva, programmazione dinamica, algoritmi golosi), le tecniche per l'analisi di complessità, sia nel caso pessimo che nel caso medio, nonché gli strumenti per l'implementazione degli algoritmi e delle strutture dati trattate.Il linguaggio Python verrà usato come strumento principale per presentare le implementazioni delle strutture dati e degli algoritmi.

PROGRAMMA DETTAGLIATO

Introduzione
Algoritmi come tecnologia per risolvere problemi computazionali. Metodologia incrementale. Metodologia divide-et-impera.
Notazioni asintotiche e relazioni tra esse. Notazioni standard e funzioni comuni.

Ricorrenze
Il metodo di sostituzione. Il metodo iterativo e dell'albero di ricorsione. Il teorema master.

Ordinamento e statistiche d'ordine

Ordinamento in tempo lineare. Mediane e statistiche d'ordine.

Elementi della programmazione dinamica
Sottostruttura ottima, ripetizione dei sottoproblemi, ricostruzione di una soluzione ottima
Alcuni casi di studio: moltiplicazione di una sequenza di matrici, la più lunga sottosequenza comune, distanza di editing.

Algoritmi elementari per grafi
Visita in ampiezza. Visita in profondità (classificazione degli archi). Ordinamento topologico. Componenti fortemente connesse.

Elementi della strategia golosa
Proprietà della scelta golosa, sottostruttura ottima. Alcuni casi di studio: problema della selezione di attività, costruzione di un codice di Huffman.

Il libro di testo consigliato è:

T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein. Introduction to algorithms (Third Edition), The MIT Press, Cambridge - Massachusetts, 2009

disponibile anche nella traduzione italiana

1) T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein. Introduzione agli algoritmi e strutture dati 3/ed, McGraw-Hill Italia, 2010.

La nozione di spazio topologico. Insiemi aperti e chiusi. Basi e sistemi fondamentali di intorni. Costruzione di una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilità. Funzioni continue ed omeoformismi. Sottospazi e proprietà ereditarie. Prodotto di spazi topologici: il caso finito e il caso generale. Spazi quoziente. Spazi metrici e spazi metrizzabili. Assiomi di separazione. Spazi normali e lemma di Urysohn. Il teorema di estensione di Tietze. Spazi compatti e loro proprietà fondamentali. Il teorema di Tychonoff. Il teorema di immersione. Una caratterizzazione fondamentale della completa regolarità. La nozione di compattificazione. Spazi connessi e loro proprietà. La connessione di un prodotto. Spazi loalmente compatti e compattificazione di Aleksandroff.

1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti durante il corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti e la monografia General Topology di R. Engelking.

0) Introduzione (N.2 lezioni)

Il metodo scientifico in Fisica. Leggi e principi. Definizione operativa di una grandezza fisica; grandezze fisiche fondamentali e derivate, dirette e indirette; analisi dimensionale delle grandezze fisiche; le tre grandezze fisiche fondamentali in Meccanica: massa, spazio e tempo e loro unità di misura. La misura: misurazione diretta e indiretta; unità di misura, multipli e sottomultipli, sistemi di unità di misura (Sistema Internazionale, Sistema CGS, Sistema Pratico degli Ingegneri e Sistema britannico ). Notazione scientifica, potenze di dieci e ordini di grandezza, cifre significative e regole di arrotondamento. Grandezze fisiche scalari e vettoriali. I vettori come segmenti orientati; modulo, direzione e verso; vettori liberi e applicati. Operazioni con i vettori: somma di vettori e sue proprietà, differenza di vettori e sue proprietà, prodotto di un vettore per uno scalare e sue proprietà, divisione di un vettore per uno scalare e sue proprietà; prodotto scalare tra vettori e sue proprietà, prodotto vettoriale tra vettori e sue proprietà; derivata di un vettore e sue proprietà. Versori, derivata di un versore (con dimostrazione) e sue proprietà., relazione di Poisson. Scomposizione di un vettore in 2 dimensioni rispetto ad assi generici e rispetto ad assi cartesiani, scomposizione di un vettore in 3 dimensioni rispetto a un sistema cartesiano ortogonale, rappresentazione cartesiana di un vettore; coseni direttori (con dimostrazione).

1) Cinematica del punto materiale (N.3 lezioni)

La schematizzazione di punto materiale. Sistemi di Riferimento: il sistema di coordinate cartesiane, ascissa curvilinea, il sistema di coordinate polari, il sistema di coordinate sferiche. Legge oraria e traiettoria, diagramma orario. Vettori posizione e spostamento di un punto materiale in 3 dimensioni. Velocità: velocità media e istantanea; accelerazione: accelerazione media e istantanea. Classificazione dei moti. Il problema inverso della cinematica e le condizioni iniziali di un problema. Moto rettilineo uniforme. Moto rettilineo uniformemente accelerato. Moto del grave: in caduta libera, con velocità iniziale non nulla e lancio verso l’alto, con velocità iniziale non nulla e lancio verso il basso. Moto del proiettile: legge di composizione dei movimenti, traiettoria, altezza massima, gittata, tempo di volo, velocità al suolo; moto del proiettile con velocità iniziale rivolta verso il basso e con velocità iniziale orizzontale. Moto circolare uniforme: legge oraria in rappresentazione cartesiana, ascissa curvilinea, anomalia; diagramma orario; velocità periferica e velocità angolare, accelerazione centripeta. Moto circolare uniformemente accelerato: legge oraria in rappresentazione cartesiana, ascissa curvilinea, anomalia; diagramma orario; accelerazione angolare; accelerazione centripeta e tangenziale, accelerazione lineare. Moto periodico: periodo, pulsazione e frequenza. Moto armonico semplice: caratteristiche, legge oraria e diagramma orario. Moti relativi nel caso semplice di moto traslatorio rettilineo uniforme tra sistemi di riferimento: le trasformazioni galileiane.

N.2 Esercitazioni di Cinematica del punto materiale

2) Dinamica del punto materiale: leggi di Newton e Forze (N.3 lezioni)

La grandezza fisica forza: definizione operativa statica e dinamica, il dinamometro. Sistemi di Riferimento Inerziali. I principi fondamentali della dinamica del punto materiale: il Principio Zero o di Relatività di G.Galilei; il I Principio della dinamica o Principio di Inerzia; il II Principio della dinamica o Legge di Newton, il III Principio della dinamica o Principio di Azione e Reazione. Invarianza e covarianza delle leggi fisiche in presenza di sistemi di riferimento inerziali. Massa inerziale e massa gravitazionale. Momento di una forza rispetto a un polo. Momento angolare o della quantità di moto rispetto a un polo. Relazione tra momento della forza e derivata del momento angolare (con dimostrazione). Conservazione del momento angolare. Forze costanti: la forza peso, la forza di attrito: reazione vincolare, attrito statico e dinamico. Piano inclinato liscio e scabro. Tensioni e vincoli: fili e carrucole ideali; la macchina di Atwood. Dinamica del moto circolare: il pendolo conico. ll pendolo semplice: isocronismo in regime di piccole oscillazioni, risoluzione dell’equazione differenziale del moto, legge oraria e sue caratteristiche. Forze dipendenti dalla posizione: la forza elastica; molle ideali e reali, molle in serie e in paralello. Forze che dipendono dalla velocità: forza di resistenza del mezzo o forza di attrito viscoso in regime di moto laminare, la legge di Stokes e il coefficiente di viscosità; caduta libera di un grave in aria: risoluzione dell'equazione differenziale del moto, legge oraria e andamento velocità, la velocità limite.

N.2 Esercitazioni di Dinamica del punto materiale: le Forze.

3) Dinamica del punto materiale: Lavoro ed Energia (N.2 lezioni)

Lavoro di una forza costante e di una forza variabile: definizione, proprietà e unità di misura. Lavoro in presenza di più forze: il principio di indipendenza delle azioni simultanee. Potenza media e istantanea: definizione, proprietà e unità di misura. Calcolo del lavoro della forza peso, della forza di attrito dinamico, della forza elastica, della forza di resistenza del mezzo. Nozione di campo di forze. Forze conservative e non conservative (dissipative). Proprietà delle forze conservative. Il lavoro come differenza di potenziale (con dimostrazione). Funzione potenziale; superfici equipotenziali e linee di forza. L'energia potenziale: definizione, proprietà e unità di misura. Calcolo della funzione potenziale (e energia potenziale) della forza peso e della forza elastica. L'energia cinetica: definizione, proprietà e unità di misura. L'energia meccanica: energia meccanica per un grave nel vuoto, energia meccanica per una molla nel vuoto, energia meccanica del pendolo semplice. Teorema delle Forze vive o Teorema dell’Energia Cinetica (con dimostrazione). Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica (con dimostrazione).

N.2 Esercitazioni di Dinamica del punto materiale: Lavoro ed Energia.

4) Oscillazioni (N.3 lezioni)

L’oscillatore armonico nel vuoto: risoluzione dell’equazione differenziale del moto e sue proprietà. Oscillazioni di un punto materiale appeso ad una molla soggetto alla forza peso e oscillazioni di un punto materiale su un vincolo orizzontale scabro (ovvero in presenza di attrito dinamico): ricerca della soluzione particolare e spostamento del centro delle oscillazioni. L’oscillatore armonico smorzato da una forza di attrito viscoso (oscillatore armonico in un fluido): moto sovra-smorzato o super-critico, moto smorzato o critico, moto sotto-smorzato o sotto-critico in presenza di vincolo liscio e di vincolo scabro: equazioni differenziali e loro soluzione (equazioni del moto). L’oscillatore armonico forzato (in presenza di mezzo ovvero in un fluido): risoluzione dell'equazione differenziale del moto, la legge oraria: fase transiente e fase stazionaria, studio dell'andamento dell'ampiezza della soluzione particolare: il fenomeno della risonanza. Energia meccanica dell’oscillatore armonico semplice.

5) Gravitazione Universale (N.2 lezioni)

La forza di attrazione gravitazionale: la legge di Gravitazione Universale e sue proprietà per punti materiali, per oggetti a simmetria sferica (Teorema di Gauss), per oggetti di forma irregolare e sua espressione in un sistema di riferimento cartesiano qualsiasi e in un sistema di riferimento con origine coincidente con una delle masse. Sorgente del campo gravitazionale (ovvero in presenza di due masse nel caso Mm). Il campo gravitazionale in coordinate sferiche: campo centrale a simmetria sferica. Calcolo del lavoro della forza di attrazione gravitazionale. Calcolo della funzione potenziale gravitazionale. Energia potenziale, superfici equipotenziali e linee di forza per il campo gravitazionale. Energia meccanica per un punto materiale in un campo di forze gravitazionale. Calcolo della velocità di fuga. Le tre leggi di Keplero: enunciato e proprietà; I Legge di Keplero (con dimostrazione: orbite piane); II Legge di Keplero (con dimostrazione) e proprietà della velocità areolare; III legge di Keplero (con dimostrazione) ed eccentricità delle orbite.

N.1 Esercitazioni di Dinamica del punto materiale: Gravitazione.

6) Dinamica dei Sistemi di punti materiali e del Corpo Rigido (N.4 lezioni)

I sistemi di punti materiali: modellizzazione discreta e continua. Centro di Massa di un sistema di punti materiali e calcolo in casi notevoli. Densità di massa lineare, superficiale e volumetrica. Forze interne, forze esterne. Quantità di moto totale di un sistema di punti materiali. Momento totale delle forze esterne per un sistema di punti materiali. Momento angolare totale per un sistema di punti materiali. Energia cinetica per un sistema di punti materiali. I Teorema del Centro di Massa (con dimostrazione); II Teorema del Centro di Massa (con dimostrazione). Equazioni cardinali del moto di un sistema: I equazione cardinale (con dimostrazione), II equazione cardinale (con dimostrazione). Principio di conservazione della quantità di moto totale per un sistema di punti materiali e casi notevoli. Dinamica degli Urti: urti elastici e anelastici. La schematizzazione di corpo rigido. Gradi li libertà. Momento di Inerzia, calcolo del momento di inerzia per casi notevoli. Teorema di Huygens-Steiner (con dimostrazione). Energia cinetica per un corpo rigido. Moto dei corpi rigidi: moto traslatorio; moto rotatorio: precessione del vettore momento angolare totale, espressione del momento angolare assiale; moto roto-traslatorio: il puro rotolamento. Assi di simmetria, assi di inerzia, assi centrali. Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso: equazione assiale del moto, conservazione del momento angolare assiale. Il pendolo composto o pendolo fisico. La carrucola come corpo rigido.

N.2 Esercitazioni di Dinamica del Sistemi e del Corpo Rigido.

7) Fluidostatica e Fluidodinamica (N.2 lezioni)

I fluidi: liquidi e aeriformi. La modellizzazione di fluido perfetto. Densità media e assoluta per un fluido, densità relativa. Pressione e unità di misura, sforzo di taglio. Equazione fondamentale della fluidostatica; la legge di Stevino; esperienza di Torricelli; il Principio di Pascal; andamento della pressione atmosferica con la quota; il principio di Archimede. Descrizione lagrangiana e euleriana per fluidi in movimento. Regime stazionario. Linea di flusso, tubo di flusso. Equazione di continuità per i fluidi in movimento: la portata. Teorema di Bernoulli (con dimostrazione).

N.1 Esercitazioni di Fluidostatica e Fluidodinamica.

8) Termodinamica dei Gas Perfetti (N.3 lezioni)

Introduzione alla Termodinamica: Principio Zero della termodinamica, definizione di temperatura e scelta della scala termometrica, termometro a volume costante, scala Celsius e Kelvin. Leggi di Boyle-Mariotte, Charles e Gay-Lussac, equazione di stato del gas perfetto. Lavoro di trasformazioni termodinamiche, calore, Energia Interna. Primo Principio della termodinamica, trasferimento del calore, capacità termica, capacità termica specifica a pressione o volume costante, relazione di Mayer per gas perfetti, calori latenti. Dilatazione termica. Calore trasferito in trasformazioni termodinamiche qualsiasi per un gas perfetto, trasformazioni adiabatiche, trasformazioni cicliche e definizione di rendimento o coefficiente di prestazione, ciclo di Carnot ideale. Secondo Principio della termodinamica: postulati di Kelvin-Planck e di Clausius e loro equivalenza. Teorema di Carnot e macchine reali, teorema e diseguaglianza di Clausius, definizione di entropia e sue proprietà, variazione di entropia dell’universo.

N.2 Esercitazioni di Termodinamica

A) TESTI di riferimento basilari per la trattazione teorica degli argomenti in programma:


M.Agnello "FISICA 1" - I edizione anno 2020 - società editrice Esculapio;
S.Focardi, I.Massa, A.Uguzzoni:“Fisica Generale”Volume 1: Meccanica,II edizione, casa editrice Ambrosiana;
S.Focardi, I.Massa, A.Uguzzoni:“Fisica Generale”Volume 2: Termodinamica e Fluidi,II edizione, casa editrice Ambrosiana;
P.Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci: “Fisica” Volume 1:Meccanica e Termodinamica, II edizione, casa editrice EdiSES;
C.Mencuccini, V.Silvestrini:"Fisica. Meccanica e Termodinamica"anno2016, Editore CEA


B) TESTI di riferimento basilari per un'introduzione e la risoluzione di test, esercizi e problemi inerenti gli argomenti in programma:


R. Davidson“Metodi matematici per un corso introduttivo di Fisica”,casa editrice EdiSES;
R. Bellotti, G.E.Bruno, G.Florio, N.Manna“Esercizi di Fisica”Meccanica e Termodinamica,casa editrice Ambrosiana


Lo studente è comunque libero di scegliere qualsiasi altro testo di teoria e/o di esercitazioni di Fisica Generale 1 purchè di livello universitario adatto a corsi di lauree scientifiche (Matematica, Fisica, Ingegneria).

Si inzierà con lo studio delle nozioni relative alla convergenza di successioni e serie di funzioni. Si introdurrà poi il concetto di spazio metrico e si studieranno approfonditamente questi nuovi spazi, in particolare studiando i concetti di limite di successioni in spazi metrici e di funzioni fra spazi metrici, di continuità e di uniforme continuitàdi funzioni fra spazi metrici, di compattezza e di connessione. Si estenderanno le nozioni di calcolo differenziale ed Integrale (già introdotte nel corso di Analisi Matematica 1) alle funzioni di più variabili, fino ad arrivare allo studio delle equazioni differenziali ordinarie, all'introduzione dei concetti base della geometria differenziale delle curve e superfici ed ai principali risultati del calcolo vettoriale, interessanti di per sè ed estremamente utili nelle applicazioni ad altre scienze.

Di seguito un elenco più dettagliato degli argomenti del corso



1.SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni.Convergenza puntuale o semplice. Convergenza uniforme. Conseguenze della convergenza uniforme. Serie di funzioni. Convergenza puntuale o semplice. Convergenza uniforme. Convergenza assoluta. Convergenza totale. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.

2. SPAZI METRICI.CALCOLO DIFFERENZIALE IN R^n. Spazi metrici. Intorni di punti. Insiemi aperti, chiusi ed altre nozioni topologiche. Compattezza e connessione in spazi metrici. Funzioni continue fra spazi metrici. Teoremi di Weierstrass, di Cantor-Heine, di Esistenza degli zeri e dei Valori Intermedi. Spazi euclidei. Applicazione delle precedenti nozioni e dei precedenti risultati al caso di spazi euclidei. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari e loro significato geometrico. Gradiente e suo significato. Funzioni dfferenziabili secondo Gateaux e secondo Frechet e significato geometrico. Teorema del differenziale totale. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche simmetriche reali. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica. Condizione necessaria del secondo ordine per la determinazione dei punti di estremi relativo. Condizione sufficiente del secondo ordineper la determinazione dei punti di estremi relativo. Ricerca degli estremi assoluti. Funzioni definite implicitamente. Teorema di Esistenza e Teorema di Derivabilità della funzione implicita sia nel caso scalare che vettoriale. Estremi vincolati e Teorema del Moltiplicatore di Lagrange. Condizione necessaria e condizione sufficiente per la ricerca dei punti di estremo vincolato.

3. MISURA E INTEGRAZIONE. Teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura elementare dei rettangoli intervalli e dei plurirettangoli. Misura degli aperti limitati e dei chiusi limitati. Nozione di misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: modularità, finita e numerabile additività, finita e numerabile subadditività, monotonìa, continuità verso l'alto, verso il basso, sottrattività ed altre proprietà. Completezza della misura. Funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili.Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n. Proprietà dell'integrale di Lebesgue e confronto con l'integrale di Riemann. Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teoremi di B.Levi e di Lebesgue. Integrazione per serie. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali. Coordinate polari nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione del (PC). Equazione integrale di Volterra. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il problema di Cauchy. Soluzioni massimali. Sistemi lineari. Globalità della soluzione di un sistema di equazioni lineari. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di Lagrange. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari a coefficienti costanti. Insieme delle soluzioni di un sistema, anche non omogeneo, di equazioni lineari a coefficienti costanti. Matrice esponenziale. Teorema di Putzer. Equazione di Eulero.

5. CURVE E SUPERFICI. Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari (regolari a tratti). Retta tangente e significato geometrico della differenziabilità secondo Frechet (esistenza dell'iperpiano tangente al grafico). Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè. Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi. Domini a connessione multipla e domini regolari. Formule di Gauss Green. Equazioni differenziali esatte. Superfici regolari e regolari a pezzi. Superfici orientabili. Integrali di superficie. Teoremi principali del calcolo vettoriale.

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Parte Prima, Pitagora Editrice Bologna 2018

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Foxwell and Davies Italia 2004 (chiedere al docente per la reperibilità del testo)

E' anche possibile consultare il sito internet del docente per un elenco esteso di testi di esercitazioni e compiti di anni accademici precedenti

Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma:



Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. Endomorfismi autoaggiunti, matrici normali e operatori normali, teorema spettrale per operatori normali.



Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività.



Generalità algebriche sui polinomi (omogenei). Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni tra le due teorie. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente e sua equazioni. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche.

Cenni della teoria delle curve e delle superficie differenziabili (solo se esisterà tempo disponibile).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o adistanza potranno essereintrodotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato inprecedenza, al fine di rispettareil programma previsto e riportato nel syllabus.

a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino

b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.



Materiale didattico: Appunti di alcuni argomenti relativi alla teoria delle ipersuperfici algebriche sono disponibili sulla pagina internet del corso:https://sites.google.com/view/dmiunictfrusso/geometria-ii



Inoltre nella pagina internet si trovano vari esercizi e compiti assegnati negli anni precedenti, un buon numerocon svolgimento completo,

Introduzione all'uso del calcolatore.

Introduzione all'uso del linguaggio Python. Enthought Canopy. Variabili ed istruzioni elementari. Cicli. Strutture dati. Moduli. Uso dei pacchetti matplotlib e numpy.

Rappresentazione in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento. Operazioni di macchina. Cancellazione numerica. Ordine di accuratezza.

Algebra lineare numerica.

Richiami di algebra lineare: vettori, matrici, determinanti, matrice inversa. Norme di vettore e norme di matrice. Norme naturali e loro rappresentazione. Autovalori. Raggio spettrale e sue proprietà. Alcune matrici particolari. Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss, pivoting. Fattorizzazioni A=LU e PA=LU. Metodi compatti, fattorizzazione di Choleski e loro implementazione in python. Condizionamento di un sistema lineare. Numeri di condizionamento. Matrici sparse e loro rappresentazione. Autovalori ed autovettori: richiami. Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: metodi di Jacobi, metodo di Gauss-Siedel e metodo SOR. Criteri d'arresto. Metodi per punti e per blocchi (cenni). Decomposizione in valori singolari (cenni). Localizzazione degli autovalori: i teoremi di Gershgorin-Hadamard. Calcolo degli autovalori: il metodo delle potenze, ed il metodo delle potenze inverse.

Approssimazione di funzioni e dati.

Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Calcolo del polinomi di interpolazione. Formula di Newton delle differenze divise. Il resto dell'interpolazione. Polinomi di Chebyshev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima norma. Teorema di Weierstrass sulla approssimazione di una funzione continua mediante polinomi (enunciato). Polinomi di Bernstein. Problema della convergenza di una successione di schemi interpolatori. Interpolazione mediante polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline cubiche. Metodo dei minimi quadrati e applicazioni. Equazioni normali e loro interpretazione geometrica.

Soluzione di equazioni non lineari.

Concetti generali. Metodi di bisezione, delle secanti e di Newton. Teoria generale dei metodi iterativi per equazioni non lineari e problemi di punto fisso. Ordine di convergenza. Criteri d'arresto. Metodo di Aitken per metodi di ordine di convergenza uno e due.

Formule di quadratura.

Integrali pesati. Forma generale di una formula di quadratura. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva (cenni).

Nota bene. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o adistanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispettoa quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programmaprevisto e riportato nel syllabus.

Libri consigliati:

Il libro di testo consigliato per il corso di Calcolo Numerico è il seguente:

G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al calcolo scientifico, McGraw-Hill, 2001.

Ulteriori approfondimenti si trovano sui testi:


V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.
G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer Italia, Milano, 1998.

Elementi di Calcolo vettoriale. Cenni sui vettori applicati

Cinematica del punto.Generalità. Spazio e tempo. Curve regolari e triedro di Frenet. Velocità e accelerazione di un punto materiale. Moto circolare, moto armonico, moto elicoidale.

Cinematica dei sistemi di punti materiali.Generalità sui vincoli per sistemi di punti materiali. Vincoli olonomi, anolonomi, fissi, mobili, unilateri, bilateri. Gradi di libertà e parametri lagrangiani. Moto Rigido. Corpo Rigido. Gradi di libertà di un sistema rigido. Angoli di Eulero. Formula di Poisson. Formula fondamentale della cinematica dei rigidi. Moti rigidi traslatori, rotatori, elicoidali, roto-traslatori, polari e di precessione. Atto di moto. Teorema di Mozzi. Cinematica relativa. Teorema di composizione delle velocità e delle accelerazioni. Moto rigido piano. Vincolo di puro rotolamento.

Dinamica e statica del punto.Principi della dinamica. Statica del punto libero e vincolato. Dinamica e statica del punto in riferimenti non inerziali. Meccanica terrestre. Peso.

Dinamica e statica dei sistemi di punti materiali.Baricentro. Momento di inerzia. Teorema di Huygens. Ellissoide di inerzia. Terna principale di inerzia. Esempi ed applicazioni. Equazioni Cardinali della dinamica e della statica. Equazioni di bilancio. Leggi di conservazione. Esempi ed applicazioni. Lavoro, potenza, forze conservative. Teorema di conservazione dell’energia meccanica. Moto attorno al baricentro. Teorema di Koenig. Energia cinetica e momento della quantità di moto per un sistema rigido. Esempi ed esercizi.

Elementi di meccanica analitica.Spostamento possibile, virtuale ed elementare. Vincoli lisci. Principio delle reazioni vincolari. Esempi. Relazione simbolica della dinamica. Principio dei lavori virtuali. Principio di stazionarietà del potenziale. Teorema di Torricelli. Equazioni di Lagrange. Integrali del moto. Stabilità dell’equilibrio. Teoremi di Dirichelet e Liapunov (cenni). Piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile. Studio qualitativo del moto di un sistema conservativo con un grado di libertà. Esempi ed esercizi.

1. Carlo Cercignani, Spazio Tempo Movimento, Zanichelli

2. Lucio Demeio, Elementi di meccanica classica per l'ingegneria, Città Studi

3. G. Frosali, F. Ricci, Esercizi di Meccanica Razionale, Esculapio, Bologna

Cenni riassuntivi e collegamenti con il corso di Fisica Matematica I:

Algebra vettoriale e tensoriale. Matrice della metrica. Componenti covarianti e controvarianti di un vettore. Cambiamenti di Coordinate. Coordinate polari, sferiche e cilindriche.Riferimenti Naturali. Metrica indotta dalle trasformazioni di coordinate. Coordinate curvilinee. Algebra Tensoriale. Componenti Covarianti, Controvarianti e miste di un tensore. Tensore di Levi-Civita ed applicazioni. Teoria dei potenziali generalizzati. Applicazioni al caso di un campo elettromagnetico ed alle forze apparenti. Nozioni introdotte sullo spazio delle configurazioni.Vettori tangenti e Spazio tangente.

Meccanica Analitica:
Principi variazionali ed equazioni di Lagrange. Principi variazionali e principio di Hamilton nello spazio delle configurazione.Gauge invarianza della variazione prima del funzionale di Hamilton ed applicazioni al potenziale delle forze apparenti. Principio di minima azione di Maupertuis ed equazioni di Lagrange. Variabili cicliche.Problema del calcolo delle Geodetiche e connessione con la legge di inerzia. Il problema della brachistocrona. Connessione tra il principio di minima azione di Maupertuis ed il Principio di Fermat. Cenni sulla Teoria di de Broglie. Simmetrie e leggi di conservazione. Teorema di Noether. Problema dei due corpi. Spazio delle fasi. Formalismo Hamiltoniano. Trasformazioni di Legendre. Equazioni di Hamilton. Derivazione delle equazioni di Hamilton da un principio variazionale. Applicazione dei metodi Hamiltoniani a vari problemi. Trasformazioni canoniche. Funzione Generatrice di una trasformazione canonica. Applicazioni ed esempi. La teoria di Hamilton-Jacobi. Derivazione della equazioni di Hamilton-Jacobi a partire da un principio variazionale. Equazione di Hamilton-Jacobi e sue applicazioni. Metodo della separazione delle variabile per le equazioni di Hamilton-Jacobi. Parentesi di Poisson. Torema di Poisson. Applicazioni ed esempi.

Principi variazionali in teoria dei campi elettromagnetici (*):

Introduzione alla teoria della relatività speciale. Formalismo 4-dimensionale e spazio degli eventi. Metrica non euclidea e metrica di Minkowski. Tipi di 4-intervalli. Contrazione delle lunghezze e dilatazioni temporali. Formulazione Lagrangiana ed equazioni di moto dedotte da principi variazionali. Variazione di un funzionale di campo. Tensore del campo Elettromagnetico. Gauge invarianza e connessione con i potenziali generalizzati. Invarianti del campo Elettromagnetico e costruzione della Lagrangiana utilizzando i teoremi di rappresentazione per funzioni scalari di Lorentz. Formulazione generale per le equazioni lineari e non lineari di Maxwell, interpretazione microscopica, verifiche sperimentali.


(*) Questa parte del programma (o parte di essa) verrà svolta compatibilmente con il monte ore complessivo del corso.

1. Appunti del docente.
2. S. Rionero, Lezioni di Meccanica razionale, Liguori Editore.
3. Strumia Alberto, Complementi di Meccanica Analitica (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
4. H. Goldstein, Meccanica classica, Zanichelli, Bologna.
5. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 1: Meccanica, Editori Riuniti.
6. Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità. ( http://www.science.unitn.it/~moretti/runfismatI.pdf )
7. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 2: Teoria dei campi, Editori Riuniti.

Introduzione.Unità fondamentali del Sistema Internazionale. Caratteristiche di una forza. Forze e campi. La simmetria in fisica ed il concetto di vettore. Le forze elettriche. I campi elettrici e magnetici. Caratteristiche dei campi vettoriali. Le leggi dell’elettromagnetismo; anticipazione delle equazioni di Maxwell e loro analisi qualitativa. Calcolo differenziale dei campi vettoriali (gradiente, divergenza, rotore, laplaciano). Calcolo integrale dei vettori. Integrali di linea e concetto di circuitazione. Integrali di superficie e concetto di flusso. Teoremi di Gauss e di Stokes. Campi con rotore nullo e campi con divergenza nulla.

Elettrostatica.La legge di Coulomb ed il principio di sovrapposizione del campo elettrico. Il potenziale elettrico e sua relazione con il campo elettrico. Il flusso diE. La legge di Gauss e la divergenza diE. Campo elettrico di una sfera carica. Linee di campo e superfici equipotenziali. Equilibrio in un campo elettrostatico. Equilibrio in presenza di conduttori. Stabilità degli atomi. Il campo elettrico di una carica lineare. Campo elettrico di una lamina carica e di due lamine con cariche opposte. Campo elettrico di una sfera carica e di un guscio sferico. Correttezza della dipendenza 1/r2. I campi di un conduttore ed i campi all’interno di cavità di un conduttore. Equazioni per il potenziale elettrostatico. Il dipolo elettrico. Il potenziale del dipolo come un gradiente. L’approssimazione dipolare e multipolare di una distribuzione arbitraria di carica. Forze elettriche in biologia molecolare: struttura del DNA e replicazione. Campi dovuti a conduttori carichi. Metodo delle immagini. I campi elettrici nelle vicinanze di un piano conduttore e di una sfera conduttrice. Il condensatore. Condensatori in serie e in parallelo. Dipendenza del campo dalla curvatura di un conduttore: “effetto punta”. Metodi per la determinazione del campo elettrostatico. Campi bidimensionali e funzioni di variabile complessa. Esempi notevoli di campi elettrici: oscillazioni nei plasmi e particelle colloidali in un elettrolita. Campo elettrostatico di una griglia. Energia elettrostatica delle cariche. Energia di una sfera uniformemente carica. L’energia di un condensatore e le forze su conduttori carichi. L’energia nel campo elettrostatico. Energia di una carica puntiforme.

Campoelettrostaticonellamateria.La costante dielettrica. Il vettore di polarizzazioneP. Le cariche di polarizzazione. Le equazioni dell’elettrostatica in presenza di dielettrici. Campi e forze in presenza di dielettrici. I dipoli molecolari. La polarizzazione elettronica. Molecole polari e polarizzazione per orientazione.

Magnetostatica.Il campo magnetico e la forza di Lorentz su una carica in moto. Il ciclotrone. La corrente elettrica e la conservazione della carica. La forza magnetica su una corrente. Il campo magnetico delle correnti stazionarie, la legge di Ampère. Il campo magnetico di un filo rettilineo e di un solenoide. Correnti atomiche. Il campo magnetico terrestre e l’alternanza del suo segno. Aurore boreali. Il potenziale vettore e la scelta delle sue condizioni al contorno (gaugemagnetostatico). Il potenziale vettore dovuto a correnti note. Potenziale vettore di un filo rettilineo e di un solenoide. Campo magnetico di una piccola spira; dipolo magnetico. Legge di Biot e Savart. Le forze su una spira di corrente e l’energia di un dipolo magnetico. Energia meccanica ed elettrica. L’energia delle correnti costanti. Confronto tra il campo magnetico ed il potenziale vettore.

Conduzioneelettrica.Legge di Ohm della conduzione elettrica. Potenza ed effetto Joule. Resistori in serie e in parallelo. Forza elettromotrice (f.e.m.). Carica e scarica di un condensatore attraverso un resistore. Corrente di spostamento e sua valutazione. Generalizzazione di Maxwell della legge di Ampère ed effetto di campi elettrici dipendenti dal tempo. Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche.

Campimagneticivariabili.La fisica dell’induzione elettromagnetica e la legge di Faraday. Il generatore di corrente alternata. Schema di funzionamento di una centrale elettrica ed effetti entropici della produzione di energia elettrica mediante trasformazione da altre forme di energia. L’induttanza mutua e l’autoinduzione. Induttanza ed energia magnetica. Numeri complessi e moto armonico. Oscillatore forzato con smorzamento in meccanica e sua analogia in elettromagnetismo. Il circuito RLC in serie. Risonanza elettrica ed impedenza complessa. Impedenze in serie ed in parallelo. Risonanze in natura.

1.R. P. Feynman, R. B. Leighton e M. Sands,La Fisica di Feynman – Vol. 1 e 2(Zanichelli, Bologna, 2007);

2.P.Mazzoldi,M.Nigro eC.Voci,Fisica - Volume II -II Edizione(EdiSES, Napoli, 2008).

Programma del corso del Modulo 1



Si veda la pagina: http://studium.unict.it/dokeos/2016/main/course_description.



Programma del corso del Modulo 2



Equazioni di Maxwell. Derivazione delle equazioni di Maxwell dalle leggi dell’elettromagnetismo. Potenziale scalare e vettore. Invarianza di gauge. Gauge di Lorentz. Gauge di Coulomb. Teorema di Helmholtz: decomposizione di un campo vettoriale nelle sue componenti irrotazionale e solenoidale. Applicazione alla gauge di Coulomb. Densità di energia e di impulso del campo elettromagnetico. Teorema e vettore di Poynting. Tensore di Maxwell. Pressione di radiazione. Caso di una superficie perfettamente assorbente e di una superficie perfettamente riflettente.



Fenomeni ondulatori. Equazione di D’Alembert. Suo integrale generale e problema ai valori iniziali. Principio di sovrapposizione per PDE lineari. Derivazione dell’equazione delle onde per onde elastiche in una sbarra solida e per una corda tesa. Onde longitudinali e trasversali. Onda piana armonica. Pulsazione e numero d’onda. Periodo e lunghezza d’onda. Relazione di dispersione. Fase di un’onda. Sviluppo in serie di Fourier. Polarizzazione: lineare, ellittica, circolare. Intensità di un’onda. Propagazione dell’energia nei fenomeni ondulatori. Onde in tre dimensioni. Fronte d’onda. Raggio. Onde sferiche. Laplaciano in coordinate polari. Pacchetto d’onde. Velocità di fase e di gruppo. Effetto Doppler.



Onde elettromagnetiche. Dispositivo di Hertz. Onde piane. Polarizzazione ed elicità di un’onda elettromagnetica. Principio di Huygens-Fresnel e teorema di Kirchhoff (cenni). Riflessione e rifrazione di un’onda elettromagnetica. Leggi di Snell-Cartesio. Richiamo: rifrazione delle linee del campo elettromagnetico. Formule di Fresnel: polarizzazione perpendicolare e parallela al piano di incidenza. Intensità riflessa e rifratta. Angolo limite di riflessione. Guide d’onda. Fibre ottiche. Angolo limite di Brewster. Lenti polaroidi. Esperienza di Malus. Dispersione e assorbimento. Analogia meccanica. Richiamo: polarizzazione ellittica.



Onde elettromagnetiche nella materia. Modello di Drude-Lorentz. Relazioni costitutive: sfasamento fra P ed E. Significato fisico della parte immaginaria della funzione dielettrica ε(ω). Andamento qualitativo della dipendenza di ε(ω) nel modello di Drude-Lorentz. Velocità di gruppo di un mezzo dispersivo. Limite statico e di alte frequenze: isolanti (dielettrici) e metalli. Oscillazioni di plasma.



Interferenza. Principio di sovrapposizione. Sorgenti coerenti. Cammino ottico. Esperienza di Young delle due fenditure. Specchi di Fresnel. Interferenza fra N sorgenti. Lamine sottili. Cuneo sottile. Anelli di Newton. Interferometro di Michelson.



Diffrazione. Formula di Fresnel. Diffrazione di Fresnel e di Fraunhofer. Diffrazione di Fresnel da uno schermo. Diffrazione di Fraunhofer da una fenditura rettangolare. Analogia con la trasformata di Fourier. Diffrazione di Fraunhofer da una fenditura circolare. Funzioni di Bessel (cenni). Potere risolutivo di un sistema ottico: criterio di Rayleigh. Reticolo di diffrazione. Dispersione. Spettri di emissione e di assorbimento (cenni). Diffrazione di raggi X da cristalli e quasicristalli (cenni).



Ottica geometrica. Equazione dell’iconale e suo significato fisico. Equazione dei raggi. Cammino ottico. Leggi della riflessione e della rifrazione. Invariante integrale di Lagrange. Principio di Fermat. Leggi di Snell-Cartesio. Principali sistemi ottici: Specchio piano e sferico. Prisma. Diottro sferico e piano. Lenti sottili e spesse.

Libri consigliati per il Modulo 1:



Si veda la pagina: http://studium.unict.it/dokeos/2016/main/course_description.



Libri consigliati per il Modulo 2:



J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (J. Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 1998); disponibile anche in italiano.


P. Mazzoldi, M. Nigro, and C. Voci, Fisica. Vol. 2: Elettromagnetismo, Onde, 3 ed. (EdiSES, Napoli, 2007).


L. D. Landau and E. M. Lifsits, Teoria dei campi (Ed. Riuniti – Ed. Mir, Roma – Mosca, 1985).


M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon, Oxford, 1980).


H. D. Young, R. A. Freedman, A. Lewis Ford, Principi di fisica. Vol. 2: Elettromagnetismo e ottica (Pearson, Milano, 2016)


F. Porto, G. Lanzalone, I. Lombardo, Problemi di fisica generale: Elettromagnetismo e ottica (EdiSES, Milano).